Problema Com as Frações

Montar problemas que são verdadeiros quebra cabeças fica fácil quando trabalhamos com as frações tanto para os alunos e, às vezes, para os professores também. Quando a finalidade é somente o quebra cabeças, o único resultado que conseguimos é prejudicar o aprendizado, causando confusão e frustração. Mas quando o problema traz novos conhecimentos, faz com que sejam apreciados por todos .

Apresento aqui um desses exemplos. Ele tem uma história e esta tem um herói: um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir. Tudo se passa na época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, por volta do século X. Nosso herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo.

Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança:

O mais velho receberia a metade.

Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo!

O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais uma fração  de camelo!

O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros mais uma fração de camelo!

Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs:

– Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe.

Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil:

. o mais velho recebe:  de 36/2 = 18

. o irmão do meio recebe:  de 36/3 = 12

. o caçula recebe:  de 36 /9= 4

Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando.

Todos lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo?

Ouçamos de novo nosso matemático:

– O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança.

Veja, colega, que intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo “a mais”?

Vamos à explicação. Esse problema consiste em dividir um total no caso 35 em partes de modo que o 1° fique com a metade , o 2° com a terça parte e o 3º com a nona parte. Somando as partes termos o total. Chamando de x o total.fica assim representado:

x/2 + x/3 + x/9 = ( 18 + 12 + 4)x/36

Observar que o total que cabe aos irmãos é 18 + 12 + 4 = 34, portanto sobra um 1 camelo como estavam na divisão 35 e o denominador é 36. Torna a divisão não exata. Ao acrescentar mais um você simplifica o denominador fazendo a divisão ficar exata. Isso mostra que em matemática, devemos sempre trabalhar no sentido de que todo problema deve ser ao seu termino, refeito verificando se a solução dada atende ao exigido pelo problema. È o que chamamos de verificação do problema.